Составители:
Рубрика:
93
Заметим, что функция
(
)
xf в различных условиях, накладываемых на
аргумент, может быть как бесконечно малой функций, так бесконечно боль-
шой, и может не иметь ни одного из этих свойств. Например, известная
функция
()
x
xf
1
=
при 0→x является бесконечно большой функцией
∞=
→
x
x
1
lim
0
; при ∞→
x
является бесконечно малой функцией: 0
1
lim =
∞→
x
x
; а во
всех остальных случаях при
a
x
→ она не является ни бесконечно большой ни
бесконечно малой функцией:
ax
ax
11
lim =
→
, 0
≠
a .
Теорема 17. (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функ-
ций)
а) если функция
()
xf
бесконечно большая при a
x
→ , то функция
()
()
xf
x
1
=
ϕ
является бесконечно малой при
a
x
→ ;
б) если функция
()
x
ϕ
бесконечно малая при a
x
→ и
()
0≠x
ϕ
в окрестности
точки
a
x
= , то функция
()
()
x
xf
ϕ
1
=
является бесконечно большой при a
x
→
Замечание. Утверждения теоремы справедливо и при
∞→
x
.
5. Теоремы о пределах функции
Основные теоремы о пределах функций аналогичны соответствующим
теоремам последовательностей. Это следует из определения 1.22 предела
функции по Гейне. Приведем теоремы о пределах функций без доказательст-
ва.
Теорема 18.
а) Если функция
()
xf имеет при a
x
→ конечный предел, равный числу
A
, то она представима в виде
(
)
(
)
xAxf
α
+
=
, где
(
)
x
α
бесконечно малая при
a
x
→ ;
б) Если функция
()
xf
представима в виде
(
)()
xAxf
α
+
=
, где
(
)
x
α
бес-
конечно малая функция при
a
x
→ , то
(
)
xfA
ax→
=
lim .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- …
- следующая ›
- последняя »
