Составители:
Рубрика:
91
3. Предел функции на бесконечности
Пусть функция
()
xf определена при всех
x
, удовлетворяющих нера-
венству ax > , где a - некоторое число.
Определение 24. Число A называют пределом функции
(
)
xf
при
∞→
x
, если для любой последовательности
{
}
n
x такой, что
ax >
и
∞=
∞→
n
n
xlim , последовательность соответствующих значений функции
(
)
{
}
n
xf
сходится к числу
A
()
(
)
Axf
n
n
=
∞→
lim
и пишут
(
)
Axf
x
=
∞→
lim
.
Если члены последовательности
{
}
n
x , положительные 0>
n
x , то пишут
+∞→
x
, если отрицательные 0
<
n
x , то пишут
−
∞→
x
. Соответственно, рас-
сматривают односторонние пределы
(
)
xf
x +∞→
lim и
(
)
xf
x −∞→
lim .
Если односторонние пределы функции при
±
∞→
x
существуют и рав-
ны, то существует предел функции при
∞
→
x
и справедливо равенство
() ()
(
)
.limlimlim xfxfxf
xxx ∞→+∞→−∞→
== .
Примеры 33. Найти пределы:
а)
1
lim
2
+
+∞→
x
x
x
; б)
1
lim
2
+
−∞→
x
x
x
; в)
1
lim
2
+
∞→
x
x
x
; г)
1
lim
2
2
+
∞→
x
x
x
.
Решение. а) пусть произвольно выбранная последовательность
{
}
n
x
такова, что
0>
n
x и
+
∞=
∞→
n
n
xlim .
Тогда
1
lim
2
+
+∞→
x
x
x
=
1
lim
2
+
∞→
n
n
n
x
x
=
2
1
1
lim
n
n
n
n
x
x
x
+
∞→
=
1
1
1
1
lim
2
=
+
∞→
n
n
x
.
б) Пусть произвольно выбранная последовательность
{}
n
x такова, что
0<
n
x и
−
∞=
n
xlim .
Тогда
1
lim
2
+
−∞→
x
x
x
=
1
lim
2
+
−∞→
n
n
n
x
x
=
2
1
1
lim
n
n
n
n
x
x
x
+
−∞→
= 1
1
1
1
lim
2
−=
+
−
−∞→
n
n
x
.
Следовательно,
1
1
lim
2
−=
+
−∞→
x
x
x
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
