Составители:
Рубрика:
90
Решение: а) рассмотрим случай , когда 01
−
→x . Это означает, что
1→x и 1<x , поэтому
()
2
xxf = и
()
(
)
(
)
1011limlimlim
2
1
1
1
101
=−===
<
→
<
→−→
fиxxfxf
x
x
x
xx
Рассмотрим случай, когда
01
+
→x .
Так как
01+→x означает, что 1→x и 1>x , то
(
)
1+= xxf
и
()
(
)
(
)
(
)
20121limlimlim
1
1
1
101
=
+
=
+
=
=
>
→
>
→+→
fиxxfxf
x
x
x
xx
.
Заметим, что
()
(
)
101 ff =+ , но
(
)
(
)
0101
−
≠
+
ff .
На рис. 39 приведен график функции
(
)
xfy
=
.
б) Пусть теперь
1−→x . Имеем
(
)
1limlim
2
1
1
1
1
==
−<
−→
−<
−→
xxf
x
x
x
x
и 1limlim
2
1
1
1
1
==
−>
−→
−>
−→
x
x
x
x
x
.
В данном случае
()
(
)
10101
=
+
−
=
−
− ff
.
01
–
1
1
2
x
y
Рис. 39
Теорема 16. (Необходимое и достаточное условие существования пре-
дела функции в точке) Для существования предела функции
()
xf
в точке a
необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонние пределы в
точке
a и были равны между собой:
(
)
(
)
xfxf
axax 00
limlim
+→−→
=
.
Доказательство предлагаем читателю провести самостоятельно.
В примере 32а функция
(
)
xf предела при 1→x не имеет, так как
()()
0101 +≠− ff
, а в примере 32б функция
(
)
xf
имеет предел, так как
()()
0101 +−≠−− ff , и он равен 1:
(
)
1lim
1
=
−→
xf
x
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
