Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

88
Пример 31. Пусть
()
x
xf
1
sin= . Выяснить, существует ли предел этой
функции при 0→
x
.
Решение. По условию 0→
x
. Выберем последовательность
{
}
n
x зна-
чений аргумента
x
:
()
Nn
n
x
n
∈
+
= ,
12
2
π
. Ясно, что Nnx
n
∈
≠
,0 и
()
.0
12
2
limlim =
+
=
∞→∞→
n
x
n
n
n
π
Построим последовательность соответствующих значений данной
функции
(){}
n
xf :
()
()
()
Nnn
n
x
xf
n
n
n
∈−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
+
== ,1
2
sin
2
12
sin
1
sin
π
π
π
.
Последовательность
(
)
{
}
n
xf с общим членом
(
)
n
1− предела не имеет.
Отсюда следует, что
x
x
1
sinlim
0→
не существует.
Теорема 15 (о единственности предела функции).
Если функция имеет предел в точке, то он единственный.
Доказательство. Проведем его от противного: предположим, что в
точке a функция
()
xf имеет два различных предела
A
и
B
()
BA ≠ . Тогда
по определению 22 предела функции в точке
a для любой последовательно-
сти
{}
n
x такой, что ax
n
≠ и ax
n
→ , имеем
(
)
Axf
n
n
=
∞→
lim и
()
Bxf
n
n
=
∞→
lim .
Но в силу единственности предела последовательности (см. теорему 2)
A
должно быть равно
B
. Что противоречит предположению. Следовательно,
предположение неверно. Таким образом, если функция имеет предел в точке,
то он единственный. Теорема доказана.
Определение предела функции в точке через предел последовательно-
сти дано немецким математиком Гейне Г. (1821-1881). Существует другое
определение предела функции в точке, оно дано французским математиком
Коши.

Страницы