Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

94
Теорема 19. Если функции
(
)
xf и
(
)
xg имеют конечные пределы при
a
x
→ , то
а)
() ()()()
(
)
xgxfxgxf
axaxax →→→
±
=
± limlimlim ;
б)
() () ()
(
)
xgxfxgxf
ax
axax
→
→→
⋅
=
⋅ limlimlim
;
в)
()
()
(
)
()
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
→
→
→
=
lim
lim
lim
, если
(
)
0lim
≠
→
xg
ax
;
г)
()()
()
()
(
)
xg
ax
xg
ax
x
xfxf
0
lim
limlim
→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→→
, если пределы функций
()
xf и
()
xg при a
x
→
не равны нулю одновременно.
Следствие. если c = константа, то
(
)()
xfcxcf
axax →→
=
limlim , то есть постоян-
ный множитель можно вынести за знак предела.
Теорема 20. Если функции
(
)
xf и
(
)
xg бесконечно большие при a
x
→ ,
то
а) при
()
+∞→xf
и
()
+∞→xg
(
)
(
)
+
∞→
+
xgxf
;
б) при
()
−∞→xf
и
()
−∞→xg
(
)
(
)
−
∞→
+
xgxf
;
в) при
()
+∞→xf
и
()
−∞→xg
(
)
(
)
+
∞→
−
xgxf
;
г) при
()
−∞→xf , и
()
+∞→xg
(
)
(
)
∞→
−
xgxf ;
д)
() ()
∞→⋅ xgxf ;
е) если
()
x
ϕ
ограничена и не равна нулю в окрестности точки a
x
= и не явля-
ется бесконечно малой, то
(
)
(
)
∞
→
⋅
xxf
ϕ
.
Теорема 21. Произведение бесконечно малой функции при a
x
→ на
ограниченную функцию есть функция бесконечно малая:
Замечание: Разность двух функций бесконечно больших при a
x
→ ,
имеющих значения одинаковых знаков, неопределена; неопределены также
частное двух бесконечно больших функций, частное двух бесконечно малых
функций, произведение бесконечно малой и бесконечно большой функций.

Страницы