Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

98
на xsin (здесь
0sin >x
), получим неравенство
xx
x
cos
1
sin
1 <<
, которое равно-
сильно неравенству
1
sin
cos
1
<<
x
x
x
. Так как 1coslim
0
=
→
x
x
, то по теореме 23 о
пределе сжатой переменной находим
1
sin
lim1
0
0
≤≤
>
→
x
x
x
x
, то есть
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
.
Рассмотрим теперь случай, когда
0→x
и
0
<
x
, то есть
00 −→x
.
Введем новую переменную
x
y
−
=
, тогда 0→y и 0>y . Сделаем теперь заме-
ну переменной под знаком предела:
(
)
=
−
−
==
>
→−
<
→−→
y
y
x
x
x
x
y
y
x
xx
sin
lim
sin
lim
sin
lim
0
0
0
000
1
sin
lim
sin
lim
0
0
0
0
==
−
−
>
→
>
→
y
y
y
y
y
y
y
y
Таким образом, получено, что односторонние пределы при
0→x равны, а то-
гда существует предел
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
. Что и требовалось доказать.
Следствия первого замечательного предела
2
1cos1
lim
2
0
=
−
→
x
x
x
(17 а)
1lim
0
=
→
x
xtg
x
(17 б)
1
arcsin
lim
0
=
→
x
x
x
(17 в)
1lim
0
=
→
x
xarctg
x
(17 г)
Второй замечательный предел:
e
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
1
1lim
(18)
Доказательство. Рассмотрим случай, когда
+∞→
x
. В примере 19
данной главы доказано, что предел
e
n
n
n
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
1
1lim
.
Обозначим
[]
xn = , где
[
]
x -целая часть числа
x
. Так как справедливо
неравенство
1+≤≤ nxn
, то справедливо неравенство
1
1
1
1
1
1
1
1
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
nxn
nxn
для любого
1>x
.

Страницы