Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

99
Очевидно, что крайние члены последнего неравенства при
∞
→n ,
стремятся к числу
e
:
e
n
n
n
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
∞→
1
1
1lim
и e
nnn
n
n
n
n
n
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
∞→∞←
+
∞→
1
1lim
1
1lim
1
1
1lim
1
.
По теореме 23 о пределе сжатой переменной имеем
e
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+∞→
1
1lim
Рассмотрим теперь случай, когда
−
∞→
x
. Введем новую переменную
xy −−= 1 , тогда +∞→y при
−
∞→
x
. Сделаем замену переменной под знаком
предела, тогда получим, что
e
yyy
y
y
y
y
yx
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
x
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+∞→+∞→
+
+∞←
+
+∞→
−−
+∞→
−−
+∞→−∞→
1
1lim
1
1lim
1
1lim
1
lim
1
lim
1
1
1lim
1
1lim
1
111
Объединяя результаты, полученные при
+
∞→
x
и
−
∞→
x
, получаем, что
e
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∞→
1
1lim
Что требовалось доказать.
Следствия второго замечательного предела:
()
ex
x
x
=+
→
1
0
1lim (19 а)
(
)
1
1ln
lim
0
=
+
→
x
x
x
(19 б)
1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
(19 в)
Примеры 35. Найти следующие пределы:
а)
x
x
x
2sin4
lim
0
−+
→
; б)
(
)
x
x
x
−
→
5
5sin
lim
5
; в)
()
x
x
x
sin
1
0
1lim +
→
; г)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∞→
1lim
1
x
tg
x
ex .

Страницы