Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

100
Решение: а) При 0→x под знаком предела имеем неопределен-
ность вида
0
0
. Умножим числитель и знаменатель на 2sin4 ++ x и, проведя
тождественные преобразования, получим, что
(
)
(
)
() ()
4
1
4
1
1
2sin4
1
lim
sin
lim
2sin4
sin
lim
2sin4
2sin42sin4
lim
2sin4
lim
00
00
=⋅=
++
⋅=
=
++
=
++
++−+
=
−+
→→
∞→→→
x
x
x
xx
x
xx
xx
x
x
xx
xxx
б) При
5→x под знаком предела имеем неопределенность вида
0
0
. Положим
yx =− 5 , тогда 0→y при 5→x . сделав замену переменной под знаком пре-
дела, найдем предел:
(
)
1
sin
lim
5
5sin
lim
05
−=
−
=
−
−
→→
y
y
x
x
yx
.
в)
()
x
x
x
sin
1
0
1lim +
→
. В данном случае под знаком предела при 0→x имеем неопре-
деленность вида
∞
1 . Раскроем ее, преобразуя выражение под знаком предела.
Умножим числитель и знаменатель показателя степени на
x
() () () ()
x
x
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
xxxx
sin
1
0
sin
1
0
sin
1
0
sin
1
0
1lim1lim1lim1lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=+=+
→
⋅
⋅
→
⋅⋅
⋅
→→
.
По следствию второго замечательного предела (формула (19а) имеем
()
ex
x
x
=+
→
1
0
1lim , а 1
sin
1
lim
sin
lim
00
==
→→
x
x
x
x
xx
. Отсюда получаем, что
() ()
eexx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
→
→→
1
sin
lim
1
0
sin
1
0
0
1lim1lim .
Справедливость действий обусловлена теоремой 19г.
г) При
∞→
x
под знаком предела
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∞→
1lim
1
x
tg
x
ex имеем неопределенность вида
0⋅∞ . Введем новую переменную
x
y
1
=
, тогда 0→y при ∞→
x
. Сделаем за-
мену переменной под знаком предела:
()
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
=
⋅
⋅−
=
−
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
→→→→∞→
y
ytg
ytg
e
yytg
ytge
y
e
e
y
ex
ytg
y
tgy
y
tgy
y
tgy
y
x
tg
x
1
lim
1
lim
1
lim1
1
lim1lim
0000
1

Страницы