Составители:
Рубрика:
107
Если существует в точке
0
x предел функции
()
xf справа и он равен
значению функции в этой точке , то говорят что функция
()
xf в точке
0
x
непрерывна справа:
(
)
(
)
(
)
00
0
0lim
0
xfxfxf
xx
=
+
=
+→
.
Пример 39. Функция
()
⎩
⎨
⎧
<
≥
+
=
1
11
2
xприx
xприx
xf
определена на всей числовой оси. Она непрерывна во всех точках числовой
оси, кроме точки 1
=
x
. Действительно, если 1
0
>x , то
() ( )
(
)
00
11limlim
00
xfxxxf
xxxx
=+=
+
=
→→
, если 1
0
<
x , то
(
)
(
)
0
2
0
2
0
0
limlim xfxxxf
xx
xx
===
→
→
.
В точке
1
0
=x функция
(
)
xf терпит разрыв. Действительно, предела
данной функции при 1→
x
не существует, так как односторонние пределы не
равны, то есть не выполнено необходимое условие существования предела
точке (см. теорему 16.):
()
;1limlim
2
0101
==
−→−→
xxf
xx
(
)
(
)
21limlim
0101
=
+
=
+→+→
xxf
xx
и
()
(
)
xfxf
xx 0101
limlim
+→−→
≠
Однако в точке 1
0
=x функция непрерывна справа, так как
(
)
(
)
,12lim
01
fxf
x
=
=
+→
а непрерывности слева нет , так как
(
)
(
)
.11lim
01
fxf
x
≠
=
−→
График данной функции приведен на рис. 39.
Для определения непрерывности функции в точке может быть
использован другой подход, основанный на понятии приращения аргумента и
функции.
Приращением аргумента
x
называют разность
0
xx
−
и обозначают :x
∆
.
0
xxx −=∆ Приращением функции
(
)
xf называют разность
()
xf и
(
)
0
xf и
обозначают
:f∆
()
(
)
.
0
xfxff −=∆
Если
0
xx → , то 0→∆x , и, обратное, если 0→
∆
x , то
0
xx → .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
