Составители:
Рубрика:
108
Определение 33. Функция
(
)
xf называется непрерывной в точке
,
0
x если бесконечно малому приращению аргумента
x
∆
соответствует
бесконечно малое приращение функции:
0lim
0
=
→
f
x
∆
∆
Замечание. Данные определения 32 и 33 непрерывности функции в
точке эквиваленты.
Покажем это. Пусть в точке
0
x
функция
()
xf
непрерывна по
определению 32. Это означает, что
(
)
(
)
.lim
0
0
xfxf
xx
=
→
В силу теоремы 18а можно записать, что
(
)()()
,
0
xxfxf
α
+
=
где
(
)
x
α
-
бесконечно малая величина при .
0
xx → Отсюда
(
)()()
.
0
fxfxfx
∆
α
=−
=
Следовательно, при
0
xx → приращение функции
f
∆
является
бесконечно малой величиной:
(
)
(
)
(
)
0limlim
0
0
0
=
∆
=
−
→∆→
fxfxf
xxx
.
Следовательно, функция
(
)
xf непрерывна в точке
0
x по определению 33.
Пусть теперь в точке
0
x функция
(
)
xf непрерывна по определению 33:
это означает, что
0lim
0
=∆
→∆
f
x
, то есть приращение функции
(
)
(
)
0
xfxff
−
=∆
величина бесконечно малая при
0→
∆
x . Так как
(
)()
fxfxf ∆+
=
0
и 0→∆f при
0
xx → , то имеем представление функции
(
)
xf в виде суммы числа
(
)
0
xf и
бесконечно малой величины
f
∆
при
0
xx → . По теореме 18б это означает, что
() ( )
0
0
lim xfxf
xx
=
→
.
Следовательно, функция
(
)
xf непрерывна в точке
0
x по определению 32.
2.Свойства функций, непрерывных в точке
Пусть функция
(
)
xf и
(
)
xg определены в интервале
(
)
ba; и
непрерывны в точке
(
)
.;,
00
baxx
∈
Свойство 1. Сумма и разность двух функций
(
)
(
)
xgxf
±
,
непрерывных в точке
0
x , то есть функции непрерывные в этой точке.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
