Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

110
3. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке
Если функция
()
xf
непрерывна в каждой точке интервала
()
,; ba
то ее
называют непрерывной на этом интервале. Если функция
()
xf
непрерывна
на интервале
()
,; ba
непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке
b, то ее называют непрерывной на отрезке
[
]
ba;
.
Так в примере 39. функция
()
⎩
⎨
⎧
<
≥+
=
1
11
2
xприx
xприx
xf
непрерывна на
промежутках
()
1,∞
−
и
[
)
+
∞,1 , причем в точке 1
=
x функция непрерывна
справа.
Приведем без доказательства ряд важных теорем о функциях,
непрерывных на отрезке.
Теорема 27. (об ограниченности функций, непрерывных на отрезке)
Всякая функция непрерывная на отрезке
[
]
ba;
, ограничена на нем.
Например, функция
()
1ln
cos
+
⋅
=
x
xe
xf
x
на отрезке
[]
10;1
определена,
непрерывна там в каждой точке, следовательно, ограничена.
Теорема 28. (теорема Вейерштрасса о существовании наибольшего и
наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке). Если функция
()
xf
определена и непрерывна на отрезке
[
]
ba;
, то в множестве ее значений
существуют наименьшее и наибольшее значения:
()
[]
bax
xfm
;
min
∈
=
и
(
)
[]
bax
xfM
;
max
∈
= .
Теорема 29. (теорема о промежуточном значении функции,
непрерывной на отрезке). Пусть функция
(
)
xf
определена и непрерывна на
отрезке
[]
ba;
и принимает в каких-то точках значения А и В. Для
определенности будем считать, что А<B. Пусть число
C такое, что .BCA
<
<
Тогда внутри отрезка
[]
ba;
существует хотя бы одна точка
0
x в которой
функция принимает значение равное
C :
(
)
Cxf
=
0
,
(
)
bax ;
0
∈
.
Эта теорема означает, что множество значений функции есть отрезок
[]
Mm, , где числа m и
M
ее наименьшее и наибольшее значения на отрезке
[
]
ba;
.

Страницы