Составители:
Рубрика:
111
Теорема 30. (Теорема Коши)
Пусть функция
()
xf
определена и непрерывна на отрезке
[]
ba;
и имеет
на концах отрезка значения разных знаков :
(
)()
.0<
⋅
bfaf Тогда внутри
отрезка существует хотя бы одна точка
(
)
,; bac
∈
в которой значение функции
равно
()
0:0 =cf .
Теорема 31. (о непрерывности обратной функции) Пусть функция
(
)
xf
определена, непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке
[]
ba;
. Тогда на отрезке
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
afbfbfaf ;(; для строго убывающей)
определена непрерывная строго возрастающая (строго убывающая) функция
()
xg обратная к функции
(
)
xf .
Теорему 30 (теорему Коши) используют для нахождения корней
уравнения
()
.0
=
xf Если удается установить, что на отрезке
[]
ba;
функция
()
xf непрерывна и
() ()
.0
<
⋅ bfaf , то внутри отрезка существует хотя бы один
корень
c уравнения
()
.0=xf :
(
)
bac ;
∈
и
(
)
.0
=
cf Теорема дает возможность
установить интервал, в котором заключен корень.
Существует ряд методов, позволяющих уточнить сведения о корне,
например, метод деления отрезка пополам.
Пример 41. Убедиться, что уравнение
052
3
=++ xx имеет на отрезке
[]
1;2 −−
по крайней мере один корень и найти его приближенное значение.
Решение. Введем функцию
(
)
52
3
++= xxxf
, тогда данное уравнение
имеет вид
()
0=xf . Функция
(
)
xf есть многочлен третьей степени, она
определена, непрерывна на отрезке
[
]
1;2
−
−
и принимает на концах отрезка
значения различных знаков:
(
)
72
−
=
−
f ,
(
)
.22
=
−
f По теореме Коши 30 на
интервале
()
1;2− существует по крайней мере один корень
()
.0: =cfc
В качестве приближенного значения корня
c можно взять любое число
()
.1;2,
11
−−∈xx
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »
