Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

113
односторонние пределы равны, то существует
(
)
xf
xx
0
lim
→
, а разрыв происходит
из-за того, что функция
()
xf неопределена в точке
0
x . Разрыв можно устра-
нить, положив
()
(
)
xfxf
xx
0
lim
0
→
=
. Получится функция непрерывная в точке
0
x
.
Пример 42.
а) функция
()
⎩
⎨
⎧
<
≥+
=
1
11
2
xприx
xприx
xf , рассмотренная в примере 39 имеет од-
ну точку разрыва
1
0
=x
, это точка разрыва первого рода и функция в ней
имеет скачок 1.
б) функция
()
x
x
xf
sin
= имеет одну точку разрыва 0
=
x
, но неопределена в
ней. Так как существует предел
()
1
sin
limlim
00
==
→→
x
x
xf
xx
, то точка 0
=
x
есть точка устранимого разрыва.
Построим функцию
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
01
0
sin
xпри
xпри
x
x
x
ϕ
.
Значения функции
(
)
x
ϕ
равны значениям функции
()
xf во всех точках
числовой оси, кроме точки 0
=
x
. Однако функция
(
)
x
ϕ
не только определена
и в точке 0=
x
, но и непрерывна в ней.
Определение 35. Точку разрыва функции
(
)
xf называют точкой раз-
рыва второго рода
, если хотя бы один из односторонних пределов не суще-
ствует или бесконечен.
Пример 43. а) функция
()
x
xf
1
= терпит разрыв второго рода в точке
0=
x
, так как
()
∞==
→→
x
xf
xx
1
limlim
00
.
б) функция
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
00
0
1
xпри
xприe
xf
x
непрерывна во всех точках числовой оси, кроме точки 0=
x
. Вычислим од-
носторонние пределы функции при :0→
x

Страницы