Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

12
б) множество X – множество всех неотрицательных чисел
x
(то есть
чисел, удовлетворяющих неравенству
0≥x
) тоже является ограниченным
снизу и его наименьшим значением является число
0 ;
в) множество Y – множество всех положительных чисел
y (то есть чи-
сел, удовлетворяющих неравенству
0>y
) тоже является ограниченным снизу
числом
0 , но множество Y не имеет наименьшего, так как число 0 не при-
надлежит Y. При этом число
0 является наибольшим из всех чисел, ограни-
чивающих множество Y снизу, а элементы
y
множества Y в силу свойств
плотности и непрерывности действительных чисел могут быть сколь угодно
близки к числу
0 , оставаясь больше его;
г) множество D – множество всех отрицательных чисел неограниченно
снизу, так как какое бы отрицательное число ни взять, найдется еще меньше
число.
Определение 3. Подмножество
X
множества всех действительных чи-
сел
R
называется ограниченным сверху, если существует такое число
()
,Rbb ∈
что оно не меньше каждого числа
(
)
,Xxx
∈
то есть для любого
,Xx ∈ выполняется неравенство .bx
≤
Число b называют числом ограничи-
вающим множество
X
сверху.
Множество, не являющееся множеством ограниченным сверху, назы-
вают множеством неограниченным сверху. Термин «множество неограни-
ченное сверху» означает, что каково бы ни было сколь угодно большое по-
ложительное число
b , в данном множестве обязательно найдется еще боль-
шее число.
Если множество
X
ограничено сверху числом
M
и ,XM ∈ то число
M
называют наибольшим или максимальным числом множества
.max: XMX = Если есть в множестве наибольшее число, то оно единствен-
ное.
Определение 4. Множество, ограниченное и снизу и сверху, называет-
ся ограниченным множеством.

Страницы