Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

13
Другими словами, множество
R
X
∈
ограничено, если существуют чис-
ла
()
RbRaba
∈
∈ ,, такие, что для каждого Xx
∈
справедливо неравенство:
.bxa
≤
≤
Множество, не являющееся ограниченным, называют неограничен-
ным.
Пример 4. а) множество
{
}
17;8;3;1
=
X ограничено, так как для
всякого
Xx ∈ справедливо 171
≤
≤
x , причем оно имеет и наименьшее значе-
ние
1=m и наибольшее 17
=
M ;
б) множество
Y
- множество положительных чисел, являясь ограничен-
ным снизу, неограниченно сверху,
(
)
;0
+
∞
<
<
y
в) множество
- множество всех целых чисел неограниченно как сни-
зу, так и сверху
()
.+∞<<∞− z
Ясно, что чисел ограничивающих множество снизу (сверху) может
быть много.
Определение 5. Наибольшее число среди всех чисел, ограничивающих
снизу множество
R
X
⊂ , называется нижней гранью (или инфимумом)
множества
X
и обозначается через
X
inf
или
{
}
X
x
x
∈
inf
(инфимум - от латин-
ского слова infimum – наименьший).
Например, для множества
Y
- множества всех положительных чисел
нижней гранью является число 0, а для множества всех натуральных чисел
N
нижней гранью является число 1, оно является и наименьшим.
Определение 6. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих свер-
ху множество
(
)
RX ∈ , называется верхней гранью (или супремумом) мно-
жества
X
и обозначается через Xsup или
{
}
X
x
x
∈
sup
(супремум – от латинского
слова supremum – наибольший).
Например, для множества всех отрицательных чисел число 0 является
верхней гранью.

Страницы