Составители:
Рубрика:
116
ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§1. Понятие производной
Многочисленные задачи, например, о скорости и ускорении неравно-
мерного движения, о плотности неоднородного стержня, о силе переменного
тока, о скорости химической реакции, о скорости роста популяции, о каса-
тельной к кривой и другие приводят к одним и тем же математическим опе-
рациям –
вычислению пределов отношений определенного вида.
Рассмотрим более подробно две такие задачи.
1. Задача о вычислении скорости движения материальной точки
Рассмотрим движение материальной точки по прямой, на которой за-
даны начало отсчета расстояний – точка
0
, положительное направление и
единичный отрезок. Пусть зависимость от времени t расстояния S движу-
щейся точки от точки
0 выражается функцией
(
)()
21
,, ttttfS ∈
=
. Эту функ-
цию называют уравнением (или законом) движения данной материальной
точки. Возьмем произвольный момент времени
(
)
210
, ttt
∈
и поставим задачу о
вычислении скорости движения точки в момент времени
.
0
t Для решения
поставленной задачи рассмотрим движение точки в течение промежутка
времени от момента
0
t до некоторого другого момента ,
0
tt ∆+ где 0
≠
∆
t и
()
.,
210
tttt ∈∆+ Так как в моменты времени
0
t и tt
∆
+
0
точка находится от на-
чала отсчета на расстоянии соответственно
(
)
0
tf и
(
)
,
0
ttf ∆+ то путь, прой-
денный точкой за промежуток времени от момента
0
t до момента tt
∆
+
0
, ра-
вен
()
(
)
.
00
Stfttf ∆=−∆+ Поделив
S
∆
на
t
∆
, получаем среднюю скорость
.ср
V
движения точки за промежуток времени от момента
0
t до момента ,
0
tt
∆
+
то
есть
(
)
(
)
.
00
.
t
tfttf
t
S
V
cp
∆
−
∆
+
=
∆
∆
=
Если движение неравномерное, то средняя скорость при фиксирован-
ном моменте времени
0
t будет изменяться при изменении t∆ . Полагая, что
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- …
- следующая ›
- последняя »
