Составители:
Рубрика:
120
4. Используя теоремы о пределах, найти
x
y
x
∆
∆
→∆ 0
lim .
В качестве примера, выполнив указанные выше действия, найдем про-
изводную функции
()
8
2
+== xxfy
в точке 2
0
=
x .
Для решения поставленной задачи
1) дадим значению
2
0
=
x аргумента x приращение 0≠∆ x , новое зна-
чение аргумента получится равным
x
∆
+
2 ;
2) учитывая, что
()
(
)
(
)
822,822
2
2
+∆+=∆++= xxfаf , вычислим при-
ращение функции:
()()()
(
)
(
)
222
2
412844828222 xxxxxfxfy ∆+∆⋅=−+∆+∆⋅+=+−+∆+=−∆+=∆
;
3) составляя отношение
x
y
∆
∆
, получаем: x
x
xx
x
y
∆+=
∆
∆+∆⋅
=
∆
∆
4
4
2
;
4) найдем
x
y
x
∆
∆
→∆ 0
lim ; имеем:
()
44limlim
00
=∆+=
∆
∆
→∆→∆
x
x
y
xx
.
Итак,
()
42 =
′
f
.
Замечание 1. Кроме понятия производной функции
()
xfy =
в точке
0
x
существуют также понятия односторонних (левосторонней и правосторон-
ней) производных в точке
0
x , под которыми понимаются соответствующие
односторонние пределы:
x
y
x
∆
∆
−→∆ 0
lim
и
x
y
x
∆
∆
+→∆ 0
lim
.
Из взаимосвязи между пределом функции
(
)
xfy
=
в точке
0
x и одно-
сторонними пределами в этой точке очевидно вытекает следующая связь ме-
жду производной
()
0
xf
′
и односторонними производными в точке
0
x : если
существует производная
(
)
0
xf
′
, то в точке
0
x существуют и равны между со-
бой односторонние производные; обратно, если в точке
0
x существуют и
равны между собой односторонние производные, то в этой точке существует
производная
()
0
xf
′
, причем она равна общему значению односторонних
производных. Отметим, что односторонние производные в точке
0
x могут
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- …
- следующая ›
- последняя »
