Составители:
Рубрика:
122
Пример 2. .sin xy =
Функция определена на множестве
R
всех действительных чисел. За-
фиксировав произвольную точку
Rx
∈
0
и придав аргументу
x
в точке
0
x
произвольное приращение
0
≠
∆
x , получаем:
()
.
2
cos
2
sin2
2
cos
2
sin2sinsin
0
0000
00
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
+⋅
∆
=
+∆+
⋅
−∆+
=−∆+=∆
x
x
x
xxxxxx
xxxy
Отсюда
.
2
cos
2
2
sin
2
cos
2
sin2
0
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
+⋅
∆
∆
=
∆
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
+⋅
∆
=
∆
∆ x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Воспользовавшись первым замечательным пределом и непрерывностью
функции
x
cos , окончательно получаем:
00
00
cos
2
cos
2
2
sin
limlim x
x
x
x
x
x
y
xx
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
+⋅
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆
.
В силу произвольности
Rx ∈
0
заключаем, что функция xy sin= дифференци-
руема в любой точке числовой прямой и
()
xx cossin =
′
.
Аналогично можно показать, что
()
xx sincos −=
′
.
Пример 3.
()
1,0 ≠>= aaay
x
.
Область определения заданной функции – множество
R
всех действи-
тельных чисел. Возьмем произвольную точку
Rx
∈
0
и произвольное прира-
щение
0≠∆x . Тогда
(
)
1
000
−=−=∆
∆
∆+
x
xxxx
aaaay и
(
)
=
∆
−
=
∆
∆
∆
→∆→∆
x
aa
x
y
x
x
xx
1
limlim
0
00
x
a
a
x
x
x
∆
−
⋅=
∆
→∆
1
lim
0
0
. Учитывая, что a
x
a
x
x
ln
1
lim
0
=
∆
−
∆
→∆
, имеем: aa
x
y
x
x
lnlim
0
0
⋅=
∆
∆
→∆
. По-
скольку
0
x - произвольная точка из
R
, то получили, что функция
x
ay = в лю-
бой точке имеет производную, причем
(
)
aaa
xx
ln⋅=
′
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- …
- следующая ›
- последняя »
