Составители:
Рубрика:
123
В частности, если ea
=
, то
(
)
xx
ee =
′
.
Пример 4.
(
)
1,0log
≠
>= aaxy
a
.
Данная функция определена на интервале
(
)
∞
+
,0 . Зафиксируем произ-
вольную точку
()
∞+∈ ,0
0
x и дадим приращение 0
≠
∆
x произвольное, но та-
кое, чтобы
()
∞+∈
∆
+ ,0
0
xx . Находим
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+=
∆+
=−∆+=∆
00
0
00
1loglogloglog
x
x
x
xx
xxxy
aaaa
и
x
x
x
x
y
a
∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
=
∆
∆
0
1log
. Следова-
тельно,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
1log
lim
1
1log
lim
1log
limlim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
a
x
a
x
a
xx
∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
⋅=
∆
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
=
∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
=
∆
∆
→∆→∆→∆→∆
. Посколь-
ку
e
x
x
x
x
a
a
x
log
1log
lim
0
0
0
=
∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
→∆
, то окончательно получим, что e
xx
y
a
x
log
1
lim
0
0
⋅=
∆
∆
→∆
.
Так как
0
x - произвольная точка интервала
(
)
∞
+
,0 , то показано, что функция
xy
a
log= имеет производную в любой точке области определения, при этом
()
e
x
x
aa
log
1
log ⋅=
′
.
В частности, при
ea = получим
()
x
x
1
ln =
′
.
Пример 5.
α
xy = , где
α
- любое вещественное число, 0>x .
Закрепив значение
0
x аргумента
x
и придав ему приращение 0
≠
∆
x ,
получим
()
α
α
00
xxxy −∆+=∆ ;
()
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
y
∆
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
=
∆
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
+
=
∆
−∆+
=
∆
∆
11
1
0
0
0
0
0
00
α
α
α
α
α
α
α
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- …
- следующая ›
- последняя »
