Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

127
Пример 9. Вычислить производную функции xy = .
Решение. Поскольку
2
1
xx = , то по формуле (II) при
2
1
=
α
находим
()
x
xxxxy
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
===
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
′
=
′
−−
. Итак,
(
)
x
x
2
1
=
′
.
Производные, полученные в примерах 8 и 9, часто встречаются на
практике. Поэтому их полезно запомнить.
Пример 10. Дана функция
()
3
2
1
x
xf =
. Найти
(
)()
8,1 ff
′
−
′
.
Решение. Учитывая, что
3
2
32
1
−
= x
x
, применяем формулу (II) при
3
2
−=
α
. Имеем
()
3
2
3
5
1
3
2
3
2
3
2
3
2
xx
xxxf −=⋅−=⋅−=
′
−−−
, откуда при
1
−
=
x
и при
8=x
получаем соответственно
()
()()
3
2
113
2
1
3
2
=
−⋅−⋅
−=−
′
f
,
()
48
1
883
2
8
32
−=
⋅⋅
−=
′
f . Таким образом,
()
3
2
1
=−
′
f ,
()
48
1
8
−=
′
f .
Задания для самостоятельной работы
1. Пользуясь таблицей производных основных элементарных функ-
ций, найти производные следующих функций:
а)
5=y ; б)
3
xy = ; в)
x
y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
7
1
; г) xy
2
log
=
; д)
6
xy = ; е) 2ln=y ;
ж)
4
1
x
y = ; з)
12
sin
π
=y ; и)
4
3
xy = ; к) xy
3
1
log
=
; л)
5
ey = .
2. Дана функция
(
)
x
xf 4=
. Найти: а)
(
)
0f
′
; б)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
2
1
f
.
3. Дана функция
()
5
1
x
xf =
. Найти
(
)
(
)
11
−
′
+
′
ff .
4. При каких значениях аргумента производная функции
3
xy =
рав-
на
3
1
?

Страницы