Составители:
Рубрика:
129
2) существует производная разности ,vu
−
при этом
( )() () ()
;
000
xvxuxvu
′
−
′
=
′
−
3) существует производная произведения
,
v
u
⋅
при этом
( )() ()() () ()
;
00000
xvxuxvxuxvu
′
⋅+⋅
′
=
′
⋅
в частности, если
constc = , то
()() ()
;
00
xucxuc
′
⋅=
′
⋅
4) при
()
0
0
≠xv существует производная частного ,
v
u
при этом
()
()() ()()
()
.
0
2
0000
0
xv
xvxuxvxu
x
v
u
′
⋅−⋅
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Доказательство. Докажем 1). Пусть
.vuy
+
=
Дадим аргументу
x
в точке
0
x приращение 0
≠
∆
x ( x∆ выбирается про-
извольно, но так, чтобы точка
xx
∆
+
0
принадлежала области определения
рассматриваемых функций). В результате этого функции
u и v получат
приращения соответственно
(
)
(
)
00
xuxxuu
−
∆
+
=
∆
и
()
(
)
00
xvxxvv
−
∆+=
∆
. А
следовательно, функция
vuy
+
=
также получит приращение
y∆
, причем
()()
[]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
()
(
)
[]
.
00000000
vu
xvxxvxuxxuxvxuxxvxxuy
∆+∆=
=−∆++−∆+=+−∆++∆+=∆
Таким образом,
vuy ∆+∆=∆ . Разделив обе части последнего равенства на
x∆
, получаем:
x
v
x
u
x
y
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
. (1)
Пусть теперь
x∆ стремится к нулю. Поскольку по условию теоремы в
точке
0
x существуют производные функций u и v , то существуют
()
0
0
lim xu
x
u
x
′
=
∆
∆
→∆
и
()
0
0
lim xv
x
v
x
′
=
∆
∆
→∆
, а, следовательно, правая часть равенства (1)
при
0→∆x имеет предел, причем
() ()
00
000
limlimlim xvxu
x
v
x
u
x
v
x
u
xxx
′
+
′
=
∆
∆
+
∆
∆
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
∆
+
∆
∆
→∆→∆→∆
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- …
- следующая ›
- последняя »
