Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

135
в)
;2,
16
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= x
e
x
x
ey
x
x
г) ;,
cossin
π
=
+
= x
xx
tgx
y
д)
;4,
64
ln4
=
⋅
= x
x
y
x
е)
(
)
.0,
1
sin1
=
+
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
e
3. Дана функция
.6
2
5
3
1
23
xxxy +−=
Найти сумму корней производной этой
функции.
4. Доказать, что для функции
x
e
x
y += 7
справедливо равенство
.7
1
y
e
y
x
−=−
′
Ответы:
1. а)
()
;132 −=
′
xy б)
()
;
12
4
2
+
=
′
t
S
в)
(
)( )
;cos3lnsin3cossin2ln2 xxxxy
xx
⋅−++⋅=
′
г)
;
14ln
x
ex
xxx
y
⋅
−
−
=
′
д)
;
1
3
2
3
3
2
x
x
x
arctgx
y
+
+=
′
е)
x
ectgxx
x
xx
x
xctgx
y
5
2
5
2
5
logarcsin
sin
logarcsin
1
log
⋅
⋅
+
⋅
−
−
⋅
=
′
.
2. а) -8; б)
;
12
5
−
в) ;426
2
+e г) -1; д) ;12ln16
2
+ е)
2
1
. 3. 5.
§5. Производная обратной функции
Теорема 2. Если функция
(
)
xfy
=
определена, непрерывна, строго мо-
нотонна в некоторой окрестности точки
0
x и в точке
0
x имеет производную
()
0
0
≠
′
xf , то обратная к ней функция
(
)
ygx
=
имеет производную в точке
()
00
xfy = , при этом
()
()
0
0
1
xf
yg
′
=
′
. (2)
Доказательство. Поскольку функция
(
)
xfy
=
определена, непрерыв-
на и строго монотонна в некоторой окрестности точки
0
x , то обратная функция
()
ygx = определена, непрерывна и строго монотонна на некотором интервале,
содержащем точку
()
00
xfy = (см. теорему 31 главы I).

Страницы