Составители:
Рубрика:
137
функцию xy arcsin= на интервале )1,1(
−
. Она является обратной для функции
,sin yx = где
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∈
2
,
2
ππ
y . На интервале
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
,
2
ππ
имеем: 0cos
≠
=
′
yx
y
. Со-
гласно правилу дифференцирования обратной функции получаем :
()
22
1
1
sin1
1
cos
1
arcsin
xy
y
x
−
=
−
==
′
.
Таким образом:
() ()
.1,1,
1
1
arcsin
2
−∈
−
=
′
x
x
x
Аналогично, можно показать, что
() ()
;1,1,
1
1
arccos
2
−∈
−
=
′
x
x
x
() ()
;,,
1
1
2
∞+∞−∈
+
=
′
x
x
arctgx
() ()
.,,
1
1
2
∞+∞−∈
+
−=
′
x
x
arcctgx
Отметим, однако, что формулы
()
2
1
1
arccos
x
x
−
−=
′
и
()
2
1
1
x
arcctgx
+
−=
′
можно также получить, используя формулы
()
2
1
1
arcsin
x
x
−
=
′
и
()
2
1
1
x
arctgx
+
=
′
и равенства arctgxarcctgxxx −=−=
2
,arcsin
2
arccos
π
π
.
Замечание 8. Можно доказать, что если функция
()
xfy =
определена,
непрерывна, строго монотонна в некоторой окрестности точки
0
x и в точке
0
x имеет производную
()
0
0
=
′
xf
, то обратная функция
()
ygx = имеет в точке
()
00
xfy = бесконечную производную.
Задания для самостоятельной работы
1. Используя правило дифференцирования обратной функции, доказать
формулы:
а)
() ()
;1,1,
1
1
arccos
2
−∈
−
=
′
x
x
x
б)
() ()
;,,
1
1
2
∞+∞−∈
+
=
′
x
x
arctgx
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- …
- следующая ›
- последняя »
