Составители:
Рубрика:
139
функция
()
xu
ϕ
= имеет производную в точке
0
x , а функция
(
)
ufy = имеет
производную в точке
(
)
00
xu
ϕ
= , то сложная функция
()
[]
xfy
ϕ
=
имеет произ-
водную в точке
0
x , причем
(
)
(
)
(
)
000
xufxy
ϕ
′
⋅
′
=
′
. (4)
Доказательство. Обозначим через
Χ
ту окрестность точки
0
x , в ко-
торой определена сложная функция
(
)
[
]
xfy
ϕ
=
. Дадим аргументу
x
в точке
0
x приращение
0≠
∆
x
, такое, чтобы точка
Χ
∈
∆
+
xx
0
. Тогда функция
(
)
xu
ϕ
=
получит приращение
u∆ , а, следовательно, и функция
()
ufy = получит при-
ращение
y∆
, которое можно записать в виде
(
)
(
)
uuuufy
∆
⋅
∆
+
∆
⋅
′
=
∆
α
0
, (5)
где
()
0→∆u
α
при 0→∆u (см. §3).
Отметим, что функция
(
)
u
∆
α
не определена при 0=
∆
u . Но приращение
u∆ зависит от выбранного 0
≠
∆
x и может, в частности, получиться равным
нулю. В связи с этим доопределим функцию
(
)
u
∆
α
, полагая
()
00 =
α
. В таком
случае равенство (5) остается верным и при
0
=
∆
u . Разделим обе части ра-
венства (5) на
0≠∆x . Получим
() ()
x
u
u
x
u
uf
x
y
∆
∆
⋅∆+
∆
∆
⋅
′
=
∆
∆
α
0
. (6)
Пусть теперь
0→
∆
x . По условию теоремы существует
()
0
0
lim x
x
u
x
ϕ
′
=
∆
∆
→∆
. Кро-
ме того, из дифференцируемости функции
(
)
xu
ϕ
=
в точке
0
x следует ее не-
прерывность в этой точке, а значит
0→
∆
u при 0→
∆
x . Но тогда
()
.0→∆u
α
Итак, при
0→∆x
правая часть равенства (6) имеет предел, причем, учи-
тывая, что
()
0
uf
′
- постоянный множитель и используя теоремы о пределах,
находим:
() () () ()
000
0
lim xuf
x
u
u
x
u
uf
x
ϕα
′
⋅
′
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
∆
⋅∆+
∆
∆
⋅
′
→∆
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- …
- следующая ›
- последняя »
