Составители:
Рубрика:
140
А тогда существует предел и левой части равенства (6), то есть
x
y
x
∆
∆
→∆ 0
lim и этот
предел равен
(
)()
00
xuf
ϕ
′
⋅
′
. Поскольку
()
0
0
lim xy
x
y
x
′
=
∆
∆
→∆
, то получаем:
(
)
(
)
(
)
000
xufxy
ϕ
′
⋅
′
=
′
.
Теорема доказана.
Сформулируем кратко правило дифференцирования сложной функции:
если
()
ufy = , а
()
xu
ϕ
= , то производная сложной функции
()
(
)
[]
xfxy
ϕ
= по не-
зависимой переменной
x
равна произведению производной функции y по
промежуточному аргументу
u на производную промежуточного аргумента u
по независимой переменной
x
.
Замечание 9. Используя другое обозначение производной и опуская
значение аргумента, формулу (4) часто записывают в следующем виде:
dx
du
du
dy
dx
dy
⋅=
.
Если с помощью нижнего индекса
x
или u указать, по какой перемен-
ной взята производная, то формула (4) примет вид:
xux
uyy
′
⋅
′
=
′
.
Пример 20. Найти производную функции
(
)
3
1 xtgy += .
Решение. С помощью промежуточного аргумента
u
представим за-
данную функцию так:
,tguy = где
3
1 xu += . Тогда
2
2
3,
cos
1
xu
u
y
xu
=
′
=
′
. Сле-
довательно, согласно правилу дифференцирования сложной функции имеем:
2
2
3
cos
1
x
u
y
x
⋅=
′
.
Теперь, записывая
3
1 x+ вместо u , получаем:
()
32
2
1cos
3
x
x
y
+
=
′
.
Пример 21. Найти производную функции
3
5
4−= xy .
Решение. В данном примере имеем:
3
uy =
, где 4
5
−= xu .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- …
- следующая ›
- последняя »
