Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

141
Поскольку
4
3
2
5,
3
1
xu
u
y
xu
=
′
=
′
, то
4
3
2
5
3
1
x
u
y
x
⋅=
′
, откуда, подставляя
4
5
−x вместо u , получаем:
()
3
2
5
4
43
5
−
=
′
x
x
y
.
В приведенном выше правиле рассмотрена сложная функция
(
)
[
]
xfy
ϕ
=
,
составленная из двух функций:
(
)
ufy
=
и
(
)
xu
ϕ
=
. Здесь y зависит от
x
через
посредство одной промежуточной переменной
u . Однако правило диффе-
ренцирования сложной функции распространяется и на случай суперпозиции
любого конечного числа функций, то есть на случай любого конечного числа
промежуточных переменных. Например, если сложная функция составлена
из трех функций
()
(
)
vuufy
ϕ
=
= , ,
(
)
xv
ψ
=
, причем
(
)
xv
ψ
=
дифференцируема в
точке
0
x , а
()
vu
ϕ
=
и
(
)
ufy = дифференцируемы соответственно в точках
()
00
xv
ψ
= и
()
00
vu
ϕ
= , то
(
)
(
)
(
)
(
)
.
0000
xvufxy
ψ
ϕ
=
Опуская значение аргумента и используя другие обозначения произ-
водных, последнее равенство можно переписать в виде:
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
⋅⋅=
или
xvux
vuyy
=
.
Пример 22. Найти производную функции
(
)
.1sin
3
−= xy
Решение. С помощью промежуточных переменных
u и v представим
заданную функцию так:
3
uy = , где
vu sin
=
, а
1−= xv
. Поэтому, учитывая,
что
2
3uy
u
=
′
,
x
vvu
xv
2
1
,cos =
′
=
′
и
xvux
vuyy
=
, получаем:
x
vuy
x
2
1
cos3
2
⋅⋅=
′
.
Подставляя вместо
u и v их выражения через
x
, окончательно имеем:
()()
(
)
(
)
.
1cos1sin
2
3
2
1
1cos1sin3
2
2
x
xx
x
xxy
−⋅−
=⋅−⋅−=
′

Страницы