Составители:
Рубрика:
136
Дадим значению
0
y аргумента y обратной функции
()
ygx = прираще-
ние
0≠∆y . Тогда функция
(
)
ygx
=
получит приращение x∆ , причем 0
≠
∆
x .
При
0≠∆x и 0
≠
∆y имеем:
x
y
y
x
∆
∆
=
∆
∆
1
. (3)
Пусть
0→∆y . Тогда в силу непрерывности функции
()
ygx = в точке
0
y
получаем, что
0→
∆
x . По условию теоремы в точке
0
x существует производ-
ная функции
()
xfy
=
, то есть существует
()
0lim
0
0
≠
′
=
∆
∆
→∆
xf
x
y
x
. Таким образом,
существует предел правой части равенства (3) и он равен
()
0
1
xf
′
.
А тогда существует предел и левой части этого равенства, то есть
y
x
y
∆
∆
→∆ 0
lim
и этот предел равен
()
0
1
xf
′
. Учитывая, что
()
0
0
lim yg
y
x
y
′
=
∆
∆
→∆
, оконча-
тельно получаем:
()
()
0
0
1
xf
yg
′
=
′
.
Теорема доказана.
Замечание 7. Опуская значение аргумента и используя другое обозна-
чение производной, формулу (2) можно записать так:
x
y
y
x
′
=
′
1
.
Результат, полученный в теореме 2, сформулируем кратко, в виде сле-
дующего правила: производная обратной функции равна обратной величине
производной прямой функции.
Правило дифференцирования обратной функции можно, в частности,
использовать для получения производных обратных тригонометрических
функций по известным производным функций
,,cos,sin tgxyxyxy ==
=
ctgxy = , то есть для установления формул IX-XII, приведенных в таблице
производных основных элементарных функций. Рассмотрим, например,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- …
- следующая ›
- последняя »
