Составители:
Рубрика:
144
()
.tg2
87
7
1
20
cos
871
24
3
2
2
5
4
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
⋅
+⋅+
=
′
x
x
x
x
x
x
xx
y
Очевидно, что производную рассматриваемой в примере 26 функции
можно найти, опираясь только на правила дифференцирования и не применяя
метод логарифмического дифференцирования. Но использованный в примере
метод логарифмического дифференцирования предпочтителен, поскольку
быстрее приводит к цели.
Пример 27. Найти производную функции
(
)
x
xy
sin
2
4+= .
Решение. Логарифмируя заданную функцию, получаем равенство
(
)
4lnsinln
2
+⋅= xxy .
Дифференцируем по
x
обе части этого равенства. Имеем:
(
)
.
4
sin2
4lncos
1
2
2
+
⋅
++⋅=
′
⋅
x
xx
xxy
y
Следовательно,
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++⋅=
′
4
sin2
4lncos
2
2
x
xx
xxyy
, откуда получаем:
()
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++⋅⋅+=
′
4
sin2
4lncos4
2
2
sin
2
x
xx
xxxy
x
.
Рассмотренная в последнем примере функция является показательно-
степенной. Используя метод логарифмического дифференцирования, легко
устанавливается следующее правило дифференцирования показательно-
степенной функции: пусть
v
uy = , причем
(
)
xuu
=
и
()
xvv =
– дифференци-
руемые в данной точке функции и
(
)
0>xu . Тогда
()
uuvvuuu
vvv
′
⋅⋅+
′
⋅⋅=
′
−1
ln .
Задания для самостоятельной работы
1. Найти производные следующих функций:
а)
()
;4
5
2
−= xy б)
;52
3
xy −=
в)
()
;
27
4
3
−
=
x
y
г)
;
1
1
4
4
x
y
−
=
д)
;cos xy =
е)
;
2
x
ey
−
=
ж)
;
3
xtgy =
з) ;
2
1ln
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
x
y
и)
;3
4
xarcctgy +=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- …
- следующая ›
- последняя »
