Составители:
Рубрика:
146
Прежде всего, поясним понятие касательной к кривой. Пусть L – пло-
ская кривая и
0
M - точка на ней (см. рис. 2).
Рис. 2
M
0
M
L
T
Возьмем на этой кривой некоторую другую точку
M
. Проведем через
точки
0
M и
M
прямую MM
0
. Эту прямую называют секущей. Пусть точка
0
M остается неподвижной, а точка
M
движется по кривой L, неограниченно
приближаясь к точке
.
0
M
Тогда секущая будет вращаться вокруг точки
0
M
.
При этом может оказаться, что секущая
MM
0
будет стремиться занять в пре-
деле положение вполне определенной проходящей через точку
0
M прямой.
Обозначим эту прямую через
TM
0
. В этом случае говорят, что кривая L в
точке
0
M имеет касательную TM
0
.
Таким образом, касательной к кривой L в точке
0
M называют прямую
TM
0
, к которой стремится секущая MM
0
, когда точка
M
стремится к точке
0
M .
(Здесь имеется в виду, что угол между прямой
TM
0
и секущей MM
0
стремится к нулю при стремлении к нулю расстояния между точками
0
M и
M
.)
Заметим, что касательная существует не всегда.
Перейдем теперь к рассмотрению геометрического смысла производ-
ной. Пусть функция
(
)
xfy =
определена на интервале
()
ba,
и в точке
()
bax ,
0
∈ имеет производную
(
)
0
xf
′
. Покажем, что существует касательная к
графику этой функции в точке
(
)
(
)
000
; xfxM , причем угловой коэффициент
этой касательной равен
()
0
xf
′
. Действительно, дадим аргументу
x
в точке
0
x
приращение
0
≠
∆x , такое, чтобы
(
)
baxx ,
0
∈
∆
+
. Тогда функция
(
)
xfy = полу-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- …
- следующая ›
- последняя »
