Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

148
Учитывая равенство (8), получаем:
(
)
00
β
tgxf
=
′
.
Так как
0
β
tg есть угловой коэффициент рассматриваемой касательной,
то последнее равенство означает, что производная функции
()
xfy =
в задан-
ной точке
0
x равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к гра-
фику этой функции в точке
(
)
(
)
.;
000
xfxM В этом состоит геометрический
смысл производной.
Получим уравнение касательной, проведенной к графику функции
()
xfy = в точке
()()
.;
000
xfxM Как известно , прямая, проходящая через точ-
ку
()()
000
; xfxM и имеющая угловой коэффициент
k
, описывается уравне-
нием:
(
)
(
)
00
xxkxfy
−
=
−
.
Поскольку угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функ-
ции
()
xfy = в точке
(
)()
000
; xfxM , равен производной этой функции в точке
,
0
x то есть
(
)
,
0
xfk
′
= то уравнение касательной имеет вид:
(
)
(
)
(
)
000
xxxfxfy
−
′
=
−
. (9)
Заметим, что исторически как раз проблема построения касательной к
кривой и привела выдающегося немецкого ученого Г.В. Лейбница к опреде-
лению понятия производной.
Пример 28. Составить уравнение касательной к графику функции
52
2
++= xxy в точке
()
.8;1
0
M
Решение. По условию задачи
(
)
.8,1
00
=
=
xfx Найдем
()
0
xf
′
, то есть
()
.1f
′
Так как
()
,52
2
++= xxxf то
(
)
.22
+
=
′
xxf Поэтому
()
.42121
=
+
⋅
=
′
f
Воспользовавшись уравнением (9), запишем искомое уравнение:
(
)
.148
−
=
−
xy
Окончательно после преобразований получаем:
.44
+
=
x
y

Страницы