Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

149
2. Механический смысл производной
В § 1 при рассмотрении задачи о скорости движения материальной
точки указывалось, что если материальная точка движется прямолинейно по
закону
()
,tfS =
то скорость V движения этой точки в момент времени
0
t оп-
ределяется так:
(
)
(
)
.limlim
00
00
t
tfttf
t
S
V
tt
∆
−
∆
+
=
∆
∆
=
→∆→∆
Поскольку согласно определению производной
(
)
(
)
()
,limlim
0
00
00
tf
t
tfttf
t
S
tt
′
=
∆
−
∆
+
=
∆
∆
→∆→∆
то получаем:
(
)
.
0
tfV
′
=
Таким образом, приходим к следующему выводу: если материальная
точка движется прямолинейно, причем функция
(
)
tfS
=
представляет собой
закон этого движения, то
(
)
0
tf
′
есть скорость движения точки в момент вре-
мени
.
0
t В этом состоит механический смысл производной.
Пример 29. Точка движется прямолинейно по закону
,82
3
++= ttS где
()
tS - путь, выражен в метрах,
t
- время в секундах. Найти скорость движения
точки через 2 секунды после начала движения.
Решение. Учитывая механический смысл производной, имеем:
()
(
)
(
)
(
)
.142232;23;
22
=+⋅=
′
+=
′′
= SttStStV
Итак, искомая скорость
.14
c
м
V =
Замечание 11. В заключение данного параграфа укажем на важную
роль, которую играет производная при исследовании самых разнообразных
процессов (физических, химических и др.). Производная позволяет количест-
венно оценить насколько быстро изменяется одна величина при изменении

Страницы