Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

151
5. Снаряд, выпущенный вертикально вверх, вылетает со скоростью
с
м
180
. Найти его скорость в конце десятой секунды.
6.
Дан закон изменения температуры T тела в зависимости от вре-
мени
t:
2
4,0 tT = . С какой скоростью тело нагревается в момент времени
5=t
с?
Ответы:
1. xy 3= ; 2. xy 22
−
=
; 3.
(
)
4;2
−
и
()
16;4 ;
4. 625 Дж; 5.
с
м
82 ; 6.
с
град
4 .
§ 8. Дифференциал функции
Наряду с понятием производной одним из основных понятий диффе-
ренциального исчисления является понятие дифференциала функции.
Пусть функция
(
)
xfy = в точке
0
x имеет производную
()
.
0
xf
′
Тогда,
как показано выше (см. §3), приращение
y
∆
этой функции в точке
0
x пред-
ставимо следующим образом:
(
)
(
)
,
0
xxxxfy
∆
⋅
∆
+
∆
⋅
′
=∆
α
где
(
)
.0lim
0
=∆
→∆
x
x
α
(10)
Рассмотрим слагаемые правой части равенства (10). Первое слагаемое
линейно зависит от .
x
∆
Кроме того, при
0→
∆
x
оба слагаемые являются бес-
конечно малыми, при этом , если
(
)
,0
0
≠
′
xf то первое слагаемое и
x
∆
имеют
один и тот же порядок малости, а слагаемое
(
)
xx
∆
⋅
∆
α
есть бесконечно малая
более высокого порядка малости, чем .
x
∆
Следовательно, если
()
,0
0
≠
′
xf то
при малых
x
∆
выражение
(
)
xxf
∆
⋅
′
0
представляет собой более важную часть
приращения
y
∆
, чем
()
xx
∆
⋅
∆
α
.
Выражение
()
xxf ∆⋅
′
0
получило название дифференциала функции в
точке .
0
x
Итак, приходим к следующему определению.
Определение 2. Дифференциалом функции
()
xfy
в точке
0
x называ-
ется произведение производной этой функции в точке
0
x
на приращение не-
зависимой переменной.

Страницы