Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

147
чит приращение
()
(
)
00
xfxxfy
−
∆
+=∆ . На графике рассматриваемой функции
(см. рис. 3) отметим точки
(
)
(
)
000
; xfxM и
(
)
(
)
xxfxxM ∆+
∆
+
00
; . Построим се-
кущую
MM
0
.
0
β
β
x
y
(
)()
00
xfxxfy −
∆
+
=
∆
Рис. 3
0
x
0
M
0
M
T
∆
x
y=f(x)
x
0
+
∆
x
Через
β
обозначим угол, который образует секущая MM
0
с положи-
тельным направлением оси
Ox . Заметим, что
β
зависит от приращения x
∆
.
Как легко видеть (см. рис. 3),
,
x
y
tg
∆
∆
=
β
следовательно,
.
x
y
arctg
∆
∆
=
β
(7)
Пусть теперь
0→∆x
. Тогда точка
M
, двигаясь по кривой
(
)
xfy = , бу-
дет стремиться к точке
0
M , секущая MM
0
будет вращаться вокруг точки
0
M
и угол
β
будет изменяться. При этом, используя непрерывность функции
arctgx
и равенство
()
0
0
lim xf
x
y
x
′
=
∆
∆
→∆
, получаем:
()
.limlim
0
00
xfarctg
x
y
arctg
x
y
arctg
xx
′
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
∆
=
∆
∆
→∆→∆
Отсюда, учитывая равенство (7), заключаем, что существует
β
0
lim
→∆x
, то
есть
β
стремится к некоторому углу, обозначим его через
0
β
, при этом
(
)
.
00
xfarctg
′
=
β
(8)
А, следовательно, и секущая
MM
0
будет стремиться занять положение
прямой
TM
0
, которая проходит через точку
0
M и расположена под углом
0
β
к положительному направлению оси
Ох. Таким образом, TM
0
есть касатель-
ная к графику функции
(
)
xfy = в точке
)
)
.;
000
xfxM

Страницы