Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

155
Пусть существуют производные
(
)
xf
′
и
(
)
.t
ϕ
′
Поскольку
t
- независимая
переменная, то для сложной функции имеем:
(
)
.dttFdy
⋅
′
=
Отсюда, учитывая, что
(
)
(
)
(
)
txftF
ϕ
′
⋅
′
=
′
и
(
)
,dxdtt
=
⋅
′
ϕ
получаем:
(
)
(
)
(
)
dxxfdttxfdy
′
=
′
⋅
′
=
ϕ
.
Итак,
()
,dxxfdy
′
= то есть дифференциал получили в той же форме, что и
при
x
- независимой переменной.
Таким образом,
dy всегда можно записывать в форме:
(
)
,dxxfdy
′
=
не-
зависимо от того, является
x
независимой переменной или же
x
– функция
другой переменной. Рассмотренное свойство называют инвариантностью
формы
()
dxxfdy
′
= дифференциала.
Заметим, что запись
(
)
xxfdy
∆
′
=
свойством инвариантности не обладает.
Пример 33. Найти дифференциал функции
:
5
xy =
а) при условии, что
x
независимая переменная;
б) при условии, что
.12
2
t
t
x
Решение. а)
;
5
1
5
1
5
4
5
4
dx
x
dxxdy ==
−
б) используя инвариантность формы дифференциала, имеем:
dx
x
dy
5
4
5
1
= , откуда получаем:
()
(
)
()
()
.
125
12
12
125
1
5
4
2
2
5
4
2
dt
tt
t
ttd
tt
dy
−+
+
=−+
−+
=
Как следует из определения, дифференциал
dy имеет очень простое
строение по сравнению с приращением ,
y
∆
ведьdy линейно зависит от
x
∆
, в
то время как
y
∆
обычно находится в более сложной зависимости от
x
∆
. По-
этому вычисление дифференциала функции обычно значительно проще, чем
вычисление ее приращения. Ясно, что дифференциал
dy и приращение y
∆
в
общем случае не равны друг другу. Однако во многих случаях при малых
значениях
x
∆
приращение y
∆
заменяют дифференциалом .dy На чем же ос-
нована возможность такой замены? Выше уже было сказано о том, что при-

Страницы