Составители:
Рубрика:
156
ращение y
∆
функции и дифференциал dy этой же функции отличаются друг
от друга на величину
()
.xx
∆
⋅
∆
α
При 0→
x
∆
эта величина является бесконеч-
но малой более высокого порядка, чем .
x
∆
Кроме того, как легко проверить,
если 0→
x
∆
и
()
,0≠
′
xf то разность dyy
−
∆
представляет собой бесконечно
малую более высокого порядка, чем каждая из величин
y∆ и dy . Таким обра-
зом, как абсолютная, так и относительная погрешности, возникающие в ре-
зультате замены приращения
y
∆
дифференциалом ,dy могут быть сделаны
сколь угодно малыми при достаточно малых .
x
∆
Задания для самостоятельной работы
1. Найти дифференциалы следующих функций:
а)
()
;1
5
2
xy −= б) ;4ln
2
xy += в) ;sin
cos
1
x
x
y +=
г)
;
2
1
arcsin
+
=
x
y д) ;
22 xx
eey
−
−= е) xtgy
2
= .
2. Дана функция
xxy 3
2
+= . Найти приращение и дифференциал этой
функции в точке 1
0
=x при а) ;1,0
=
∆
x б) .001,0
=
∆
x Оценить абсолютную и
относительную погрешности, возникающие при замене приращения функции
ее дифференциалом.
3. Радиус круга равен 40 см. Найти приближенно изменение площади
круга, если увеличить его радиус на 0,01 см.
Ответы:
1. а)
(
)
;110
4
2
dxxxdy −−= б)
;
4
2
x
xdx
dy
+
=
в) dx
x
xx
dy
2
3
cos
cossin +
=
;
г)
;
21
2
xx
dx
dy
−−
=
д)
(
)
dxeedy
xx 22
2
−
+= ; е) dx
x
x
dy
3
cos
sin2
=
.
2. а) 02,0;01,0;5,0;51,0
=
=
=
=∆
δ
hdyy (или 2%).
б) 0002,0;000001,0;005,0;005001,0
=
=
==∆
δ
hdyy (или 0,02%) (через h и
δ
обозначены границы соответственно абсолютной и относительной по-
грешностей).
3. Площадь круга увеличится на
π
8,0 см
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- …
- следующая ›
- последняя »
