Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

159
Дифференциалом n -го порядка или n -ым дифференциалом функции
()
xfy = называется дифференциал от дифференциала
()
1−n
-го порядка этой
функции (при этом значение dx считаем тем же самым). Обозначается симво-
лом
.yd
n
Таким образом,
(
)
yddyd
nn 1−
=
(
)
1>n .
Подчеркнем, что определяя дифференциалы высших порядков, диффе-
ренциал независимой переменной все время рассматриваем как постоянную
величину. Учитывая это, будем иметь:
()( )
;
22
dxydxdxydxdxydydyd
′′
=⋅
′′
=
′
′
==
()
(
)
32223
dxydxdxydxdxyyddyd
′′′
=⋅
′′′
=
′
′′
==
.
Методом математической индукции можно доказать, что для любого
натурального n справедлива формула:
(
)
.
nnn
dxyyd = (13)
(При этом предполагаем, что существуют соответствующие производные.)
Здесь символы
n
dxdxdx ,,
32
обозначают соответствующие степени
dx , то есть
() () ()
.,,
32 n
dxdxdx
Из равенства (13) получаем
()
,
n
n
n
dx
yd
y =
то есть приведенный ранее символ
n
n
dx
yd
для обозначения производной n -го
порядка можно рассматривать как дробь.
Пример35. Дана функция
.45
35
+−= xxy Найти .
4
yd
Решение. Согласно формуле (13) имеем:
(
)
444
dxyyd = .
Так как
()
,120,3060,3020,155
42324
xyxyxxyxxy =−
=
′
′
′
−
=
′
′
−=
′
то
окончательно получаем
44
120 dxxyd = .

Страницы