Составители:
Рубрика:
160
При рассмотрении в § 8 дифференциала функции, было отмечено, что
он обладает свойством инвариантности формы: если
()
,xfy
=
то
(
)
dxxfdy
′
=
,
независимо от того, является ли
x
независимой переменной, или же
−
x
функция другой переменной. Дифференциалы же высших порядков этим
свойством не обладают. Таким образом, формула (13) при 1>n справедлива,
вообще говоря, только в том случае, когда
x
- независимая переменная. Если
же
x
- функция некоторой другой переменной, то эта формула в общем слу-
чае неверна.
Рассмотрим, например, дифференциал второго порядка функции
()
xfy = . Выше показано, что если
x
- независимая переменная, то
.
22
dxyyd
′′
= (14)
Пусть теперь
x
не является независимой переменной, то есть
(
)
tx
ϕ
=
.
Тогда
()
dttdx
ϕ
′
=
и, следовательно, dx уже нельзя считать постоянной. В этом
случае, используя правило вычисления дифференциала произведения, полу-
чим
()
(
)
(
)
.
222
xdydxydxdydxyddxyddydyd
′
+
′′
=⋅
′
+⋅
′
=
′
==
Итак,
.
222
xdydxyyd
′
+
′′
=
(15)
Сравнивая (14) и (15), замечаем, что в последнем случае появилось сла-
гаемое
.
2
xdy
′
Ясно, что для yd
2
равенство (15) является более общим, так как в том
случае, когда
x
- независимая переменная, имеем 0
2
=
x
d , а следовательно, вто-
рое слагаемое в равенстве (15) равно нулю, тем самым получаем формулу (14).
Пример 36. Дана функция xxxy 742
23
+−= . Найти yd
2
а) при условии, что
x
-независимая переменная;
б) при условии, что
x
-функция от другой независимой пере-
менной.
Решение. а) Так как
,786
2
+−=
′
xxy 812
−
=
′
′
xy , то
()
22
812 dxxyd −= .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- …
- следующая ›
- последняя »
