Составители:
Рубрика:
162
§10. Дифференцирование параметрически заданных функций
Пусть функции
(t)x
ϕ
= и (t)y Ψ
=
определены в некоторой окрестности
точки
0
t , причем функция (t)x
ϕ
=
непрерывна и строго монотонна в указан-
ной окрестности. Тогда существует обратная к
(t)x
ϕ
=
функция (x)t χ= , и в
некоторой окрестности точки
)(tx
00
ϕ
=
определена функция y от x:
(
)
[
]
xy
χ
Ψ
=
.
В таком случае говорят, что эта функция y от x задана параметрически
уравнениями
(t)x
ϕ
=
, (t)y Ψ= . Обозначим эту функцию так: (x)y Φ= .
Если функции
(t)x
ϕ
= и (t)y Ψ
=
в точке t
0
имеют производные и
0)('
0
≠t
ϕ
, то функция (x)y Φ= имеет производную в точке )(tx
00
ϕ
= , причем
)(
)(
)(
0
0
0
t
t
x
′
′
Ψ
=
′
Φ
ϕ
,
или кратко (используя другие обозначения производной и опуская обозначе-
ние аргумента)
.
t
t
x
x
y
y
′
′
=
′
Покажем справедливость приведенного утверждения. Действительно,
применяя правило дифференцирования сложной функции и правило диффе-
ренцирования обратной функции, получаем:
t
t
t
txtx
x
y
x
ytyy
′
′
=
′
⋅
′
=
′
⋅
′
=
′
1
.
Рассмотрим теперь вычисление второй производной.
Если кроме указанных выше условий существуют
)(
0
tx
tt
′′
и )(
0
ty
tt
′′
, то
существует и
)(
0
xy
xx
′
′
, причем
=
′
′
=
′′
xxxx
)y(y
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
t
t
t
x
y
()
()
3
t
tttttt
t
2
t
tttttt
t
t
t
t
x
x
yxxy
x
x
yxxy
x
x
y
t
′
′′′
−
′′′
=
′
′
′′′
−
′′′
=
′
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
′
=
′
⋅
.
Поступая аналогично, можно вычислить
xxx
y
′
′
′
и т. д.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- …
- следующая ›
- последняя »
