Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

163
Пример 37. Функция y от x задана параметрически уравнениями:
tyttx cos1,sin −=−= ,
).(
+
∞
<
<−∞
t
Найдем
x
y
′
и
xx
y
′
′
.
Решение. Имеем:
tytx
tt
sin,cos1
=
′
−
=
′
, причем 0≠
′
t
x при
π
k
t
2
(
,...2,1,0 ±±=k ). Следовательно, если
π
k
t
2
≠
, то
;
sin2
cossin2
cos1
sin
2
2
22
2
t
t
tt
ctg
t
t
x
y
y
t
t
x
==
−
=
′
′
=
′
22
2
sin2
1
42
2
sin4
1
sin2
2
tt
t
t
t
xx
x
t
ctg
y −==
′
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
′′
−
.
Задания для самостоятельной работы
1. Найти
x
y
′
и
xx
y
′′
для функций, заданных параметрически уравнениями:
а)
3
, tytx
=
= ; б)
t
y
t
x
2sin,sin
=
=
.
2. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к эллипсу
t
by
t
a
x
sin,cos == в точке, для которой .
6
π
=t
3. Функция задана параметрически уравнениями:
tt
eyex
−
== 2, . Соста-
вить уравнение касательной, проведенной к графику этой функции в точке
М, для которой .0=
t
Ответы:
1. а) .6,3
2
tyty
xxx
=
′′
=
′
б) ).3(2,
cos
2cos2
3
tgtttgy
t
t
y
xxx
+−=
′′
=
′
2. .
3
a
b
k −= 3.
042
=
−
+
yx
.
§ 11. Основные теоремы дифференциального исчисления
Рассмотрим теоремы, которые ввиду их важности, называют основны-
ми теоремами дифференциального исчисления.
Теорема 4 (теорема Ферма). Пусть функция
()
xfy = определена на
промежутке
X
и во внутренней точке
0
x этого промежутка принимает наи-
большее или наименьшее значение. Тогда, если в точке
0
x существует произ-
водная, то она равна нулю.

Страницы