Составители:
Рубрика:
164
Доказательство. Предположим для определенности, что функция
()
xfy =
в точке
0
x принимает наибольшее значение. Тогда
(
)
(
)
0
00
≤
−
∆
+
=
∆
xfxxfy
для любой точки
.
0
Xxx ∈∆+ Следовательно, если ,0>
∆
x то ;0≤
∆
∆
x
y
если же
,0<∆x то .0≥
∆
∆
x
y
Поэтому
0lim
0
≥
∆
∆
−→∆
x
y
x
и 0lim
0
≤
∆
∆
+→∆
x
y
x
. (16)
По условию теоремы функция
(
)
xfy
=
в точке
0
x имеет производную.
Значит
()
x
y
x
y
x
y
xf
xxx
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
′
+→∆−→∆→∆ 000
0
limlimlim . (17)
Из (16) и (17) вытекает, что
(
)
.0
0
=
′
xf
Аналогично рассматривается случай, когда функция
()
xfy = в точке
0
x
принимает наименьшее значение.
Геометрический смысл теоремы Ферма заключается в том, что если
функция
()
xfy = во внутренней точке
0
x промежутка
X
принимает наи-
большее или наименьшее значение и дифференцируема в этой точке, то каса-
тельная, проведенная к графику этой функции в точке
()
(
)
,,
00
xfx параллельна
оси
Ox
(рис. 5).
y
Рис. 5
0
0
x
x
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- …
- следующая ›
- последняя »
