Составители:
Рубрика:
166
Теорема 6 (теорема Лагранжа). Пусть функция
()
xfy = непрерывна на
[]
ba, и дифференцируема на
(
)
ba, .
Тогда найдется такая точка
(
)
bac ,
∈
, что выполняется равенство
(
)
(
)
()
.cf
ab
afbf
′
=
−
−
(18)
Доказательство. Рассмотрим на
[
]
ba, вспомогательную функцию
() () ()
(
)
(
)
()
.ax
ab
afbf
afxfxF −
−
−
−−=
Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем условиям теоре-
мы Ролля. Действительно, она непрерывна на
[
]
ba, , поскольку является раз-
ностью между непрерывной функцией
(
)
xf
и линейной функцией.
(
)
xF
на
интервале
()
ba,
имеет (конечную) производную, равную
() ()
(
)
(
)
.
ab
afbf
xfxF
−
−
−
′
=
′
На концах отрезка
[]
ba, функция
(
)
xF принимает одинаковые значения:
() ()
.0== bFaF
Итак, для функции
(
)
xF на
[
]
ba, выполнены все три условия теоремы
Ролля. Применяя эту теорему к функции
(
)
,xF заключаем, что существует та-
кая точка
()
bac ,∈ , что
()
,0
=
′
cF
то есть
()
(
)
(
)
,0=
−
−
−
′
ab
afbf
cf откуда получаем
() ()
()
.cf
ab
afbf
′
=
−
−
Равенство (18) называют формулой Лагранжа. Иногда ее записывают в
виде
()
(
)
(
)
(
)
,abcfafbf
−
⋅
′
=
− где .bca
<
<
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию теоремы Лагранжа (рис.7).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- …
- следующая ›
- последняя »
