Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

168
Докажем теперь равенство (19). Рассмотрим вспомогательную функцию
() () ()
(
)
(
)
() ()
() ()()
.agxg
agbg
afbf
afxfxF −
−
−
−−=
Легко проверить, что эта функция на
[
]
ba, удовлетворяет условиям тео-
ремы Ролля. А поэтому найдется такая точка
(
)
bac ,
∈
, что
()
.0=
′
cF Учитывая,
что
() ()
() ()
() ()
()
,cg
agbg
afbf
cfcF
′
⋅
−
−
−
′
=
′
получаем:
()
()
(
)
() ()
()
0=
′
⋅
−
−
−
′
cg
agbg
afbf
cf , или
(
)
(
)
() ()
()
()
.
cg
cf
agbg
afbf
′
′
=
−
−
Теорема доказана.
Равенство (19) называют формулой Коши.
Замечание 13. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши называют теоремами
о средних значениях.
§ 12. Применение производных для вычисления пределов функций
(правило Лопиталя)
Вопросы отыскания пределов функций уже рассматривались выше в
главе I. Там же приводились различные приемы раскрытия неопределенно-
стей. В данном параграфе речь пойдет об
очень важном и практически удоб-
ном способе отыскания пределов отношений двух бесконечно малых или
двух бесконечно больших функций при помощи производных. Этот способ
называют правилом Лопиталя.
Прежде всего рассмотрим вопрос о раскрытии неопределенностей вида
0
0
. Справедлива следующая теорема.
Теорема 8. Пусть выполнены следующие условия:
1)
функции )(xf и )(xg определены и дифференцируемы в некоторой окрест-
ности точки
0
x , за исключением, может быть, самой точки
0
x ;
2)
;0)(lim)(lim
00
==
→→
xgxf
xxxx
3)
0)( ≠
′
xg в окрестности точки
0
x , за исключением, может быть, самой точ-
ки
0
x ;

Страницы