Составители:
Рубрика:
169
4. существует конечный или бесконечный, равный +
∞
или - ∞ , предел
.
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx
′
′
→
Тогда существует и предел
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx →
, причем справедливо равенство
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx →
= .
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx
′
′
→
Приведенная теорема позволяет свести предел отношения двух беско-
нечно малых функций к пределу отношения их производных. Во многих слу-
чаях отыскание предела отношения производных оказывается проще.
Таким образом, теорема 8 устанавливает правило для раскрытия неопре-
деленностей вида
0
0
.
Если отношение производных снова окажется отношением бесконечно
малых функций, удовлетворяющих условием теоремы 8, то теорему следует
применить повторно. Иногда (при выполнении соответствующих условий)
теорему 8 приходится применять несколько раз.
Рассмотрим примеры.
Пример 38. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить .
4
lim
4
4
−
−
→
x
ee
x
x
Решение. В данном примере
4
)( eexf
x
−
=
, 4)( −=
x
x
g
. Эти функции
удовлетворяют всем условиям теоремы 8. А поэтому заключаем, что предел
при 4
→
x
отношения
)(
)(
xg
xf
указанных функций существует и равен пределу
отношения их производных. Таким образом, получаем:
.
1
lim
)4(
)(
lim
4
lim
4
4
4
4
4
4
e
e
x
ee
x
ee
x
x
x
x
x
x
==
′
−
′
−
=
−
−
→→→
В дальнейшем решения будем записывать кратко.
Пример 39. Пользуясь правилом Лопиталя, найти
.
311
414
lim
2
−−
−+
→
x
x
x
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- …
- следующая ›
- последняя »
