Составители:
Рубрика:
167
x
y
Рис. 7
0 a
f(b)–f(a)
bc
A
B
b–a
Отношение
() ()
ab
afbf
−
−
представляет собой угловой коэффициент секу-
щей, проходящей через точки
(
)
(
)
afaA ; и
(
)
(
)
bfbB ; графика функции
(
)
,xfy
=
а
()
cf
′
- угловой коэффициент касательной, проведенной к графику этой же
функции в точке
()()
.; cfc
Теорема Лагранжа утверждает, что существует такая точка
(
)
bac ,∈ , что
касательная, проведенная к графику функции
(
)
xfy
=
в точке
()()
cfc; , парал-
лельна секущей
A
B .
Заметим, что таких точек может быть и несколько.
Теорема 7 (теорема Коши). Пусть функции
(
)
xf и
()
xg непрерывны на от-
резке
[]
ba, , дифференцируемы на интервале
(
)
,, ba причем
()
0≠
′
xg в каждой точ-
ке
()
.,bax ∈
Тогда существует точка
(
)
bac ,
∈
такая, что справедливо равенство:
(
)
(
)
() ()
(
)
()
.
cg
cf
agbg
afbf
′
′
=
−
−
(19)
Доказательство. Сначала отметим, что обе части равенства (19)
имеют определенный числовой смысл. Действительно, так как по условию
теоремы
()
0≠
′
xg , то правая часть равенства имеет смысл. В левой части так-
же имеем:
() ()
,0≠
−
agbg поскольку в противном случае получили бы
() ()
agbg =
и тогда функция
(
)
xg
удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля, а
значит, ее производная в некоторой точке
(
)
bac ,
∈
была бы равна нулю, а это
не имеет места, так как по условию теоремы
(
)
0
≠
′
xg
для любого
(
)
bax ,∈
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- …
- следующая ›
- последняя »
