Составители:
Рубрика:
165
Теорема 5 (теорема Ролля). Пусть функция
(
)
xfy
=
1) непрерывна на
[]
;,ba
2) дифференцируема на
(
)
;,ba
3) принимает равные значения на концах отрезка, то есть
()
(
)
.bfaf
=
Тогда существует хотя бы одна такая точка
(
)
,,bac
∈
что
()
.0=
′
cf
Доказательство. Поскольку
(
)
xfy
=
непрерывна на
[]
,,ba то она
принимает на этом отрезке свое наибольшее значение и свое наименьшее
значение. Обозначим их соответственно
M
и m . Рассмотрим два возможных
случая:
1.
mM =
. Тогда функция на отрезке
[
]
ba, сохраняет постоянное значе-
ние. А поэтому
()
0=
′
xf в любой точке рассматриваемого промежутка. Таким
образом, в качестве
c можно взять любую точку, принадлежащую интервалу
()
.,ba
2.
mM > . Поскольку по условию теоремы
(
)()
bfaf
=
, то по крайней ме-
ре одно из значений
M
или m функция принимает в некоторой точке
()
bac ,∈ . А тогда согласно теореме Ферма
(
)
.0
=
′
cf
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в следующем: если
функция
()
xfy =
непрерывна на
[
]
ba,
, дифференцируема на
()
ba,
и на концах
отрезка
[]
ba,
принимает равные значения, то найдется хотя бы одна точка
()
bac ,∈
, такая, что касательная, проведенная к графику данной функции в
точке
()()
,; cfc параллельна оси Ox (рис.6).
x
y
Рис. 6
0 a
f
(a)=f(b)
bc
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- …
- следующая ›
- последняя »
