Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

170
Решение. Имеем неопределенность вида
0
0
. Применяя правило Лопи-
таля, получаем:
4
3
14
11
lim
112
1
142
1
lim
)'311(
)'414(
lim
311
414
lim
2222
−=
+
−
−
−
+
=
−−
−+
=
−−
−+
→→→→
−=
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
.
Пример 40. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить
)1(
2
lim
2
0
+
−−
−
→
xx
ee
xx
x
.
Решение. Имеем неопределенность вида
0
0
. Применяем правило Ло-
питаля:
()
.
23
lim
)1(
)2(
lim
)1(
2
lim
2
0
2
0
2
0
xx
ee
xx
ee
xx
ee
xx
x
xx
x
xx
x
+
+−
=
′
+
′
−−
=
+
−−
−
→
−
→
−
→
Опять получили неопределенность вида
0
0
. Снова применяем правило Лопиталя:
.1
26
lim
)'23(
)'(
lim
23
lim
0
2
0
2
0
−=
+
−−
=
+
−
=
+
−
−
→
−
→
−
→
x
ee
xx
ee
xx
ee
xx
x
xx
x
xx
x
Итак,
.1
)1(
2
lim
2
0
−=
+
−−
−
→
xx
ee
xx
x
Пример 41. Вычислить
.
sin
cos
lim
0
xx
xxx
x
−
−
⋅
→
Решение. Имеем неопределенность вида
0
0
. Применяя правило Лопи-
таля, получим:
=
⋅−
−
=
−
−
⋅
−
=
−
−⋅
→→→
x
xxx
x
xxx
xx
xxx
xxx
sin
cossin2
lim
cos1
1sincos
lim
sin
cos
lim
000
.3
cos
sincos3
lim
0
−=
⋅
+
−
=
→
x
xxx
x
В данном примере правило Лопиталя было применено три раза.

Страницы