Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

171
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о раскрытии неопределенно-
стей вида
∞
∞
. Справедлива следующая теорема, устанавливающая правило для
раскрытия неопределенностей вида
∞
∞
.
Теорема 9. Пусть выполнены следующие условия:
1)
функции )(
x
f
и )(
x
g
определены и дифференцируемы в некоторой окре-
стности точки
0
x , за исключением, может быть, самой точки
0
x ;
2)
∞==
→→
)(lim)(lim
00
xgxf
xxxx
;
3)
0)( ≠
′
xg в окрестности точки
0
x , за исключением, может быть, самой точ-
ки
0
x ;
4)
существует конечный или бесконечный, равный ∞
+
или ∞− , предел
()
)(
lim
0
xg
xf
xx
′
′
→
.
Тогда существует и предел
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx →
, причем справедливо равенство
)('
)('
lim
)(
)(
lim
00
xg
xf
xg
xf
xxxx →→
= .
Пример 42. Вычислить
ctgx
x
x
ln
lim
0→
.
Решение. Имеем неопределенность вида
∞
∞
. Используем правило Ло-
питаля:
001sin
sin
lim
sin
lim
sin
1
1
lim
ln
lim
0
2
0
2
00
=⋅−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅−=−=
−
=
→→→→
x
x
x
x
x
x
x
xctg
x
xxxx
Теорему 9, так же как и теорему 8, в некоторых случаях приходится при-
менять несколько раз.
Замечание 14. Теоремы 8 и 9 распространяются и на тот случай, когда
аргумент
x
стремится к бесконечности.

Страницы