Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

173
π
π
π
π
π
4
2
2
sin
1
2
lim
2
1
lim
2
)1(lim
2
1
2
1
2
1
=
⋅−
−
=
−
=⋅−
→→→
x
x
x
ctg
xx
tgx
xxx
.
Пример 45. Вычислить
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→
ctgx
x
x
sin
1
lim
0
.
Решение. Имеем неопределенность вида
∞
−
∞
. Но поскольку
x
x
x
x
x
ctgx
x sin
cos1
sin
cos
sin
1
sin
1
−
=−=−
, то при
0→x
приходим к неопределенности
вида
0
0
и, применяя правило Лопиталя, получим:
0
cos
sin
lim
sin
cos1
lim
sin
1
lim
000
==
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→→→
x
x
x
x
ctgx
x
xxx
.
Неопределенности вида
∞
1
,
0
∞
,
0
0
можно привести к неопределенностям
вида
0
0
или
∞
∞
с помощью предварительного логарифмирования.
Поясним это на двух примерах.
Пример 46. Вычислить
x
x
x
−
→
1
2
1
lim .
Решение. Имеем неопределенность вида
∞
1
. Положим
x
x
xA
−
→
=
1
2
1
lim
. Ло-
гарифмируя обе части последнего равенства и используя непрерывность лога-
рифмической функции, получаем:
x
x
x
x
xxA
xx
x
x
x
x
−
⋅=
−
===
→→
−
→
−
→
1
ln
lim2ln
1
2
limlnlimlimlnln
11
1
2
1
1
2
1
.
Теперь имеем неопределенность вида
0
0
. Используя правило Лопиталя,
получаем:
2
1
lim2
1
ln
lim2
1
11
−=
−
⋅=
−
⋅
→→
x
xx
x
x
.
Итак,
2ln −
=
A , откуда
2
1
e
A =
, то есть
2
1
2
1
1
lim
e
x
x
x
=
−
→
.
Пример 47. Вычислить
x
x
x
x
1
)3(lim +
+∞→
.

Страницы