Составители:
Рубрика:
175
§13. Исследование функций и построение графиков
1. Монотонность и экстремумы функции
Напомним, что функция у = f (х) непрерывная на промежутке Х, назы-
вается возрастающей (убывающей), если для любых
Xxx ∈
21
, таких, что
21
xx < , верно неравенство )()(
21
xfxf
≤
( )()(
21
xfxf ≥ ). Если )()(
21
xfxf
<
(
)()(
21
xfxf > ), то функцию называют строго возрастающей (строго убываю-
щей). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными, а
строго возрастающие и строго убывающие - строго монотонными. (Иногда
используют иную терминологию: функции называют соответственно неубы-
вающей, невозрастающей, возрастающей, убывающей).
На рис.8 изображена возрастающая функция, на рис.9 – убывающая
функция.
x
1
x
y
f
(x
2
)
y=f(x)
Рис. 8
0
f
(x
1
)
x
2
x
1
x
y
f
(x
1
)
y=f(x)
Рис. 9
0
f
(x
2
)
x
2
Теорема 10 (критерий постоянства функции).
Для того, чтобы функция
(
)
xf была постоянна на некотором проме-
жутке Х, необходимо и достаточно, чтобы
)(xf
′
была равна нулю во всех
внутренних точках этого промежутка.
Доказательство.
1) Необходимость. Известно, что
(
)
constxf
=
. Тогда очевидно, что
0)( =
′
xf
.
2) Достаточность. Дано, что
0)(
=
′
xf . Докажем, что
()
constxf = . Возь-
мем две произвольные точки
.,
21
Xxx
∈
Существует (по теореме Лагранжа)
внутренняя точка
Xc ∈
такая, что ))(()()(
1221
xxcfxfxf −
′
=
−
. Так как 0)(
=
′
сf
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- …
- следующая ›
- последняя »
