Математика. Часть II. Математический анализ и дифференциальные уравнения. Александрова Е.Б - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

174
Решение. Имеем неопределенность вида
0
∞
. Положим
x
x
x
xA
1
)3(lim +=
+∞→
. Тогда
=
+
⋅+
=
+
=+=+=
+∞→+∞→+∞→+∞→
1
3
3ln31
lim
)3ln(
lim)3ln(lim)3(limlnln
11
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxA
3ln
3ln3
3ln3
lim
3ln31
3ln3
lim
3
3ln31
lim
2
32
=
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
=
+
⋅+
=
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Итак,
3lnln
=
A , откуда 3
=
A
, то есть 3)3(lim
1
=+
+∞→
x
x
x
x .
Здесь правило Лопиталя применено три раза.
Замечание 15. В заключение подчеркнем, что с помощью правила Лопи-
таля вычисляется предел отношения бесконечно малых или бесконечно боль-
ших функций в том случае, если существует предел отношения их производ-
ных. Если же предел отношения производных не существует, то отсюда еще не
следует, что не
существует и предел отношения самих функций.
Задания для самостоятельной работы
Применяя правило Лопиталя, вычислить следующие пределы:
1.
.
9
)2ln(
lim
2
3
−
−
→
x
x
x
5. .
17
lim
4
2
x
x
e
xx
−+
+∞→
2.
.
5
lim
2
23
0
x
xee
xx
x
−−
−
→
6.
.
5
1
25
10
lim
2
5
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
x
x
x
3.
.
sin
cossin
lim
2
0
xx
xxx
x
⋅
⋅
−
→
7.
.2sinlnlim
0
xx
x →
4.
.
ln
lim
3
x
x
x +∞→
8.
.)(sinlim
2
tgx
x
x
π
→
Ответы:
1 .
6
1
;
2. 2,5; 3.
3
1
;
4. 0; 5. 0;
6.
10
1
−
; 7. 0; 8. 1.

Страницы